Wednesday, January 7, 2009

TUGAS 1 B
MATEMATIKA YUNANI SETELAH EUCLIDES

1. Latar Belakang Sejarah
Selama pemerintahan dinasti Ptolomeus, yang berlangsung hamper 300 tahun, kota Iskandaria bebas dari pertentangan-pertentangan didalam maupun diluar. Ini diakhiri dengan suatu masa pertentangan yang singkat sewaktu Mesir menjadi sebagian kerajaan Romawi, dan setelah itu Pax Romana singgah didalam itu. Tidaklah mengherankan bahwa Iskadaria menjadi surga bagi para cendikiawan dan hamper selama seribu tahun banyak hasil ilmiah lahir di kota itu.
Masa akhir pada zaman itu dikuasai oleh Roma, pada 212 SM. Syracusa tunduk pada pengepungan Romawi; pada 146 SM, Carthago jatuh dibawah kekuasaan kerajaan Romawi dan pada tahun yang sama, yang terakhir dari kota Yunani, yaitu Corintha jatuh pula. Yunani menjadi bagian kerajaan Romawi. Mesopotamia tidak ditahlukkan sampai pada 65 SM dan Mesir tetap diperintah keluarga Ptolomeus sampai pada 30 SM. Kebudayaaan Yunani berkembang dalam kehidupan Romawi dan agama Nasrani mulai berkembang, terutama dikalangan budak-budak belian dan kaum miskin. Penguasa-penguasa Romawi memungut pajak-pajak yang beray, tetapi selebihnya tidak mencampuri organisasi ekonomi yang mendasari dari pajajah-penjajah Timur.
Konstatin yang Agung adalah kaisar Romawi pertama yang memeluk agama Kristen dan sebagai agama resmi. Pada tahunh 330, konstatin memindahkan ibu kota dari Roma ke Byzantium, yang diberi nama Konstantinopel. Pada tahun 395, kerajaan Romawi dibagi menjadi dua yaitu kerajaan Timur dan Barat.
Struktur ekonomi dari kedua kerajaan itu pada dasrnya adalah pertanian dengan menggunakan tenaga budak belian. Keadaan serupa menimbulkan kebekuan pada kerja ilmiah yang asli dan pemikiran yang produktif berangsur-angsur menurun terutama dibagian Barat, karena di sana perbudakan dilakukan secara besar-besaran. Pasaran budak belian mulai menurun sampai tingkat biasa. Madzab Iskandaria lenyap bersama hancurnya masyarakat kuno. Pemikiran kreatif diganti penyusunan(komplikasi) dan ulasan. Pada tahun 641, Iskandaria jatuh ketangan Arab.

2. Archimedes
Salah satu ahli matematika yang terbesar sepanjang zaman dan terbesar di zaman kuno. Archimedes adalah penduduk Syracusa. Ia dilahirkan pada 287 SM dan meninggal ketika terjadi perampokan di kota Syracusa oleh orang Romawi pada 212 SM. Ia putra seorang ahli astronomi dan ia merupakan orang terpandang di mata Raja Heron dari Syracusa. Ada riwayat yang menyatakan, bahwa ia singgah beberapa waktu di Mesir, mungkin sekali di Universitas Iskadaria, karena diantara teman-teman yang ia sebut Canon, Dositheus, dan Eratosshenes. Dua orang yang pertama dan terakhir pengganti Euklides adalah seorang pustakawan Universitas. Banyak penemuan matematika Archimedes telah diberitahukan pada orang-orang tersebut.
Ahli sejarah bangsa Romawi meneruskan kisah-kisah yang menarik dari Archimedes. Yang sangat terkenal adalah uraian-uraian tentang alat-alat canggih yang direncanakan untuk mempertahankan Syracusa terhadap pengepungan yang dipimpin jendral Romawi Marcellus. Ada ketapel yang berjarak lempar yang dapat diatur, tiang-tiang yang menonjol yang dapat digerakkan untuk menjatuhkan benda-benda berat di atas kapal-kapal musuh yang dating terlalu dekat pada dinding-dinding kota, dank ran penekan yang besar mengangkat kapal-kapal musuh. Terdapat kisah bahwa ia menggunakan kaca-kaca besar untuk membakar kapal-kapal. Adapun kisah tentang cara ia membuat orang percaya pada pernyataan “Berilah aku tempat untuk berdiri dan aku akan menggerakkan dunia”, dengan memindahkan sebuah kapalyang dibebani berat, tanpa susah payah dan seorang diri dengan menggunakan katrol berganda. Padahal kapal itu dengan susah payah telah ditarik ke atas oleh pekerja-pekerja.
Jelas bahwa Archimedes memiliki kemampuan yang besar untuk memusatkan pikirannya dan ada kisah tentang bagaimana ia melupakan keadaan sekitarnya kalau sedang tenggelam dalam suatu persoalannya, contoh yanh khas ialah cerita yang sering diulangi tentang makota Raja Heron pandai emas yang dicurigai. Agaknya Raja Hero mempunyai sebuah mahkota emas yanh dikhawatirkan mengandung perak yang disembunyikan dan ia menyampaikan masalahnya pada Arcimedes dan Archimedes mandapatkan jawabannya ketika sedang mandi dengan menemukan hokum hydrostatika 1. ia lupa be4rpakaian, keluar dari kamar mandinya dan lari pulang sambil berteriak-teriak “Eureka, Eureka!” disepanjang jalan.
Archimedes banyak mengerjakan geometri dengan menggunakan lukusan-lukisan yang dibuatnyapada minyak-minyak sehabis mandi yang diusapkan pada badanya. Karya-karya Archimedes merupakan karya-karya ulung Ia juga mengarang buku-buku lain yang berjudul Data, Phaenomena, Optika, Unsur Musik, Pembagian Bentuk, Porisme (3 jilid), Pseudoria, Katoptrika, Irisan Kerucut (4 jilid). Tapi buku-buku tersebut sudah musnah.Kita tahu dari laporan orang lain, misalnya laporan Proclus, ahli filsafat Yuanai, yang menulis tentang euclides kira-kira 700 tahun sesudah Euclides meninggal. Kapan dan dimana Euclides lahir, tak ada orang yang tahu. Kapan dan dimana Euclides meningal, juga tak ada orang yang tahu. Meskipun demikian, di bidang geometri Euclides adalah orang yang paling berpengaruh di dunia. Maka tak mengherankan kalau ia sering mendapat julukan geometri. Di bidang matematika, penemuannya terhadap nilai phi lebih mendekati dari ilmuan sebelumnya, yaitu 223/71 dan 220/70Archimedes adalah orang yang mendasarkan penemuannya dengan eksperiman. Sehingga, ia dijuluki Bapak IPA Eksperimental.

3. ERATOSTHENES
Eratosthenes dilahirkan di Cyrene (Libya saat ini), tetapi bekerja dan meninggal di Alexandria. Dia tidak pernah menikah dan dikenal sebagai seorang yang sombong.Eratosthenes belajar di Alexandria dan untuk beberapa tahun di Athena. Pada 236 SM ia ditunjuk oleh Ptolemy III Euergetes I sebagai pustakawan Perpustakaan Alexandria, menggantikan pustakawan pertama, Zenodotos. Dia membuat beberapa sumbangan penting pada matematika dan sains, dan merupakan teman baik Archimedes. Sekitar 255 SM ia menciptakan bola armilar, yang digunakan secara luas hingga diciptakannya oreri pada abad 18. Pada 195 SM ia menjadi buta dan setahun kemudian diduga membiarkan dirinya kelaparan hingga meninggal dunia.Ia dicatat oleh Cleomedes dalam On the Circular Motions of the Celestial Bodies sebagai orang yang telah menghitung keliling Bumi pada sekitar tahun 240 SM, menggunakan metode trigonometri dan pengetahuan mengenai sudut kemiringan Matahari saat tengah hari di Alexandria dan Eratosthenes mengetahui bahwa pada saat titik musim panas pada siang lokal di kota Syene yang terletak di Tropic of Cancer, Matahari akan tampak di zenit, tepat di atas kepala. Ia juga mengetahui dari pengukuran bahwa di kampung halamannya, Alexandria, sudut kemiringan Matahari pada saat yang sama adalah 7,2° di selatan zenit. Dengan asumsi bahwa Alexandria berada di utara Syene ia menyimpulkan bahwa jarak dari Alexandria ke Syene adalah 7,2/360 dari total keliling Bumi. Jarak antara kedua kota tersebut diketahui dari para pedagang/pengelana sekitar 5000 stadia: sekitar 800 km. Dia mendapatkan angka akhir 700 stadia per derajat, yang berarti keliling Bumi adalah 252.000 stadia. Ukuran pasti dari stadion yang dia gunakan saat ini tidak lagi diketahui dengan pasti (ukuran stadion Attic sekitar 185 m), tetapi umumnya dipercaya bahwa keliling Bumi yang dihitung Eratosthenes adalah sekitar 39.690 km.Meskipun metode Eratosthenes cukup baik, akurasi perhitungannya masih terbatas. Akurasi pengukuran Eratosthenes terkurangi oleh fakta bahwa Syene tidaklah tepat berada di Tropic of Cancer, tidak juga tepat berada di selatan Alexandria, dan Matahari sebetulnya adalah sebuah piringan yang berada pada suatu jarak tertentu dari Bumi dan bukan sebuah "sumber titik" pada jarak yang tak hingga. Sumber lain dari galat pengukurannya adalah: ketelitian tertinggi pengukuran sudut pada jaman itu hanyalah seperempat derajat, dan pengukuran jarak melalui perjalanan darat masih diragukan. Maka akurasi dari perhitungan Eratosthenes adalah mengejutkan, sebab keliling Bumi yang diukur melewati kutub-kutubnya saat ini diketahui berharga 40.008 km.Percobaan Eratosthenes pada saat itu sangat dipandang, dan perkiraannya tentang ukuran Bumi diterima hingga ratusan tahun sesudahnya. Metodenya digunakan oleh Posidonius sekitar 150 tahun kemudian.

4. BILANGAN-BILANGAN PRIMA
Suatu kali ada seseorang yang datang kepada saya dengan maksud ingin memulai belajar Java, ia banyak bertanya kepada saya masalah Java dan perkembangannya. Salah satu pertanyaan yang muncul dari salah satu cerita adalah bagaimana membuat sebuah program Java yang mampu menghasilkan deretan bilangan prima?, yang jadi masalah adalah, saya sendiri saat itu sudah lupa apa perngertian bilangan prima, sehingga kita kesulitan untuk membuat programnya. he..he..he..(alasan...!!!).
Kemarin saya teringat kejadian itu, dan segera saya googling mencari tahu pengertian bilangan prima. Dari wikipedia versi indonesia saya mendapatkan pengertian bilangan prima secara baku, kemudian saya coba memahami arti sebenarnya pengertian bilangan prima. Bilangan prima adalah Suatu bilangan asli yang dimulai dari 2, dimana bilangan ini adalah bilangan yang tidak habis dibagi dengan bilangan apapun dibawahnya kecuali dibagi dengan satu dan bilangan itu sendiri. Begitu pemahaman yang saya ambil dari pengertian bilangan prima. Mari kita coba ambil sebuah angka dan coba memeriksanya dengan pemahaman yang saya dapat, misal kita ambil angka 15, apakah angka 15 adalah bilangan prima ? Pemeriksaan kita, akan kita urutkan seperti ini :
1. Apakah 15 lebih besar sama dengan 2 (15 >= 2 ) ?, sebab salah syarat pertama bilangan prima adalah bilangan asli yang dimulai dari 2.
2. Apakah 15 akan habis dibagi dengan bilangan-bilangan yang dimulai dari 2 sampai dengan 14 ?, sebab syarat bilangan prima yang lain adalah bilangan yang tidak habis dibagi dengan bilangan apapun dibawahnya kecuali satu dan dirinya sendiri.
Ok kita mulai pemeriksaan kita satu demi satu, untuk pemeriksaan pada tahap yang pertama 15 lolos, artinya 15 memang lebih besar dari pada 2, kemudian kita lanjutkan dengan pemeriksaan tahao ke dua. Apakah 15 habis jika di bagi dengan 2, hasilnya 15 tidak habis di bagi dengan 2, karena 15/2= 7 dan sisa 1. Pemeriksaan kita lanjutkan dengan membagi lagi 15 dengan 3, pada pembagian yang ini 15 jelas bukanlah bilangan prima, sebab 15 dibagi dengan 3, habis, 15/3 = 5, habis tidak ada sisa. Jelas 15 bukanlah bilangan prima sebab 15 habis di bagi dengan 3.
Sekarang kita akan ambil satu bilangan lagi yaitu 17, dan kita akan coba periksa lagi dengan metode yang sama dengan ketika kita mencari bilangan prima untuk angka 15. Untuk pemeriksaan pertama bilangan 17 pasti lolos sebab 17 lebih besar dari pada 2, dan untuk pemeriksaan ke dua, kita lihat seperti gambar di bawah ini :
17 / 2 = 8 sisa 1
17 / 3 = 5 sisa 2
17 / 4 = 4 sisa 1
17 / 5 = 3 sisa 1
17 / 6 = 2 sisa 5
17 / 7 = 2 sisa 3
17 / 8 = 2 sisa 1
17 / 9 = 1 sisa 8
17 / 10 = 1 sisa 7
17 / 11 = 1 sisa 6
17 / 12 = 1 sisa 5
17 / 13 = 1 sisa 4
17 / 14 = 1 sisa 3
17 / 15 = 1 sisa 2
17 / 16 = 1 sisa 1
Pada gambar diatas, kita bisa melihat bahwa 17 itu selalu sisa jika dibagi dengan bilangan apapun dibawah bilangan 17 kecuali 1 dan 17 itu sendiri. Dari situ kita bisa simpulkan bahwa 17 adalah bilangan prima.

Terjemahan dari buku : AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS
Penulis :Howard Eves
Penerbit : the united states of America

No comments:

Post a Comment